Kombinatorika: pravidla, variace, permutace

Jak se z toho učit

  1. 1Jdi shora dolů, zabere to asi dvě hodiny. Každá část má princip na obrázku, jeden příklad rozepsaný krok po kroku a pak Spočítej sám: příklady z hodin pana Stolaříka (PDF „Kombinatorika – příklady“, př. 1–22).
  2. 2U příkladů počítej na papír, teprve pak rozklikni. Řešení je vždy nakreslené jako políčka: kolik možností má každé místo.
  3. 3Na konec Jaký je to typ? a písemka nanečisto. Kombinace se začaly probírat 19. 10., v písemce podle Edookitu nebudou.

Co musíš umět

1Pravidlo součinu a součtu, metoda políček, doplněk („aspoň jednou“). 2Faktoriál: co to je, 0! = 1 a jak se krátí. 3Variace V(k, n): vybírám k z n a záleží na pořadí. 4Permutace P(n) = n! a triky: blok, „po“, na kraji, vedle sebe, kruh, nula. 5Výrazy, rovnice a nerovnice s faktoriály a variacemi. 6Jaký je to typ? Schéma o dvou otázkách, chyby a písemka nanečisto.

1Pravidlo součinu a součtu

Kombinatorika počítá, kolika způsoby jde něco udělat, aniž bys všechny možnosti vypisoval. Stačí dvě pravidla.

Součin: „a zároveň“ (konjunkce)

Když volím postupně a první volba má a možností, druhá b možností, je všech způsobů a · b.

4 trasy3 trasyABC

Z A do B vedou 4 trasy, z B do C tři. Každá ze 4 tras pokračuje třemi způsoby: 4 · 3 = 12 cest z A do C.

Součet: „nebo“ (disjunkce)

Když se možnosti navzájem vylučují (nastane buď jedna, nebo druhá), sčítám: a + b.

3 · 5přes B+2přímo=17cest

Z A do C jedu buď přes B (3 · 5 cest), anebo přímou cestou (2). Uvnitř každé větve násobím, větve sčítám.

Doplněk: „aspoň jednou“

Místo složitého počítání „aspoň“: všechny možnosti − ty, kde to nenastane vůbec.

Definice, jak je máte v sešitu

Kdyby v písemce bylo „vyslov pravidlo“ nebo „definuj“, napiš to takhle.

Metoda políček

Pro každé místo nakresli políčko a napiš do něj, kolik možností zbývá. Pak políčka vynásob. Nejdřív vyplň políčko s podmínkou (první cifra nesmí být 0, poslední určuje dělitelnost…).

Př. 1: Dvojciferná přirozená čísla, ve kterých se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.

9desítky, ne 0·9jednotky, bez té první=81

Př. 4: Totéž, ale trojciferná.

9ne 0·9i 0, bez 1. cifry·8bez dvou použitých=648

Dělitelnost, kterou budeš potřebovat

Spočítej sám

Příklady z hodin. Nakresli políčka, pak rozklikni a ohodnoť se.

Př. 2a Z A do B vedou 4 trasy, z B do C 3. Kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět?
4A→B·3B→C·3C→B·4B→A=144
Př. 2b Tam a zpět tak, aby žádná ze sedmi cest nebyla použita dvakrát.
4A→B·3B→C·2zpět jinou·3zpět jinou=72
Př. 2c Tam a zpět tak, aby právě jedna cesta byla použita dvakrát.

Dvě větve, které se vylučují, takže sčítám:

stejná cesta B–C, jiná A–B: 4 · 3 · 1 · 3 = 36

stejná cesta A–B, jiná B–C: 4 · 3 · 2 · 1 = 24

36 + 24 = 60

Př. 2d Tam a zpět tak, aby právě dvě cesty byly použity dvakrát.
4·3·1stejná·1stejná=12

Kontrola: 72 + 60 + 12 = 144, to jsou všechny možnosti z 2a.

Př. 3 Čtverec ABCD, na každé straně n vnitřních bodů. Kolik je trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech, každý vrchol na jiné straně?

Vyberu, která strana zůstane bez vrcholu: 4 možnosti. Na každé ze tří zbylých stran vyberu bod: n · n · n.

4n3

Tři body na třech různých stranách nikdy neleží na přímce, takže každá trojice je trojúhelník.

Př. 5 Kolika způsoby lze na šachovnici 8 × 8 vybrat dvě různobarevná políčka, která neleží v téže řadě ani v témže sloupci?
32bílé políčko·24černé mimo jeho řadu a sloupec=768

Černých je 32, v řadě bílého jsou 4 černá a ve sloupci další 4: 32 − 8 = 24.

Př. 6 Kolik dvojjazyčných slovníků je potřeba, aby šlo překládat z angličtiny, francouzštiny, němčiny a ruštiny do každé z nich?
4z jazyka·3do jiného=12

Slovník anglicko-francouzský je jiný než francouzsko-anglický, záleží na pořadí.

Př. 7 V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si vezme buď jablko, nebo hrušku tak, aby Věra, která si pak vezme jablko i hrušku, měla co největší výběr. Co si má vzít Petr?

Petr jablko: Věra má 11 · 10 = 110 možností.

Petr hrušku: Věra má 12 · 9 = 108 možností.

Petr si má vzít jablko.

DÚ Na vrchol vedou 4 cesty a lanovka. Kolika způsoby se dostanu nahoru a zpět: a) libovolně, b) zpátky jinudy, c) aspoň jednou lanovkou, d) lanovkou právě jednou?

a) 5 · 5 = 25 · b) 5 · 4 = 20

c) doplněk: všechny − ani jednou lanovkou: 25 − 4 · 4 = 9

d) lanovkou nahoru a pěšky dolů, nebo naopak: 1 · 4 + 4 · 1 = 8

DÚ Kolik je čtyřciferných čísel z cifer 1, 2, 3, 4, 5 (mohou se opakovat), která jsou dělitelná a) pěti, b) dvěma, c) čtyřmi?

a) poslední cifra 5: 5 · 5 · 5 · 1 = 125

b) poslední 2 nebo 4: 5 · 5 · 5 · 2 = 250

c) poslední dvojčíslí dělitelné 4: 12, 24, 32, 44, 52, tedy 5 možností: 5 · 5 · 5 = 125

Rozcvička od praktikantky

Úvodní příklady z listu „Příklady – praktikantka“. Součin, nebo součet?

  1. Hodíš mincí dvakrát po sobě. Kolik je různých výsledků?
  2. Jídelna nabízí 3 různá jídla a jeden dezert. Dáš si buď samotné jídlo, nebo jídlo s dezertem. Kolika způsoby?
  3. Plavat jdeš dvakrát: jednou Po–St, jednou Čt–So. Kolik je dvojic dnů?
  4. Kroužek: 7 sportovních a 5 uměleckých. Z kolika možností vybíráš jeden?
  5. Zástupci třídy jsou jedna dívka a jeden chlapec, ve třídě je 12 dívek a 10 chlapců. Kolik je dvojic?
  6. Ve třídě je 20 žáků: 8 jezdí autobusem, 10 na kole, ostatní chodí pěšky. Kolik jich chodí pěšky?
  7. V kolika pořadích můžeš sníst 3 různé bonbony?
  8. Ve zverimexu je agama, tři rybičky, andulka a dvě želvy. Zvířata stejného druhu nerozlišuješ. Kolik máš možností?

Procvičování od praktikantky

Z druhé strany listu. Šachovnice, slovníky a cifry 1–5 jsou stejné jako př. 5, 6 a DÚ nahoře.

1 Ve třídě je 17 děvčat a 13 kluků. Kolika způsoby může třída vybrat jednoho zástupce do školní rady?

Buď děvče, nebo kluk: 17 + 13 = 30

2 1.A má 30 studentů, 1.B 33, 1.C 30 a 5.O 22. Kolika způsoby lze vybrat jednoho zástupce prvních ročníků?

30 + 33 + 30 + 22 = 115

3 Kolik je všech trojciferných čísel? A kolik z nich nemá žádnou cifru dvakrát?
9ne 0·10·10=900
9ne 0·9·8=648
4 Trojciferná čísla bez opakování cifer, která a) mají jen liché cifry, b) mají jen sudé cifry, c) mají jako druhou cifru trojku, d) mají na lichých místech liché a na sudých místech sudé cifry.

a) liché 1, 3, 5, 7, 9: 5 · 4 · 3 = 60

b) sudé 0, 2, 4, 6, 8, na začátku ne 0: 4 · 4 · 3 = 48

c) uprostřed 3, na začátku 1–9 bez trojky (8), na konci zbylých 8: 8 · 1 · 8 = 64

d) 1. a 3. místo liché, 2. sudé: 5 · 5 · 4 = 100

6 Kolik je dvojciferných čísel s různými ciframi a) pravidlem součinu, b) pravidlem součtu?

a) 9 · 9 = 81

b) rozdělím podle první cifry: začínající 1 je 9 (10, 12, …, 19), začínající 2 je taky 9… Skupin je 9 a nepřekrývají se: 9 + 9 + … + 9 = 81

9 Ve třídě je 18 dívek a 11 chlapců. Kolika způsoby lze vybrat předsedu a místopředsedu, aby aspoň jeden z nich byla dívka?

Doplněk: všechny dvojice funkcí − oba chlapci:

V(2, 29) − V(2, 11)= 29 · 28 − 11 · 10= 812 − 110 = 702

2Faktoriál

Co to je

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1

Pozor: 0! = 1 a 1! = 1. Faktoriál existuje jen pro n ∈ ℕ0, proto u rovnic hlídáš, aby nic pod vykřičníkem nebylo záporné.

2! = 23! = 64! = 24
5! = 1206! = 7207! = 5040

Jak se krátí

Větší faktoriál rozepiš, až se objeví ten menší, a zkrať:

  • (n + 1)! = (n + 1) · n!
  • n!(n − 2)! = n(n − 1)
  • (2n)!(2n + 1)! = 12n + 1 (větší je dole!)
  • 10!8! = 10 · 9 = 90

Zkrať zpaměti

Klikni na odpověď, hned uvidíš proč.

  1. 0! =
  2. 7! / 5! =
  3. (n + 2)! / n! =
  4. (n − 1)! / n! =
  5. (n + 1)! =
  6. Vyjádři pomocí faktoriálů: V(12, 60) =

3Variace

k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice: vybírám k různých prvků z n a záleží na pořadí. Typicky: funkce (předseda, místopředseda…), místa na stupních vítězů, cifry čísla, pruhy vlajky.

Vzorec je jen políčka

Př. 8: Ve finále běží 8 běžců. Kolika způsoby mohou obsadit stupně vítězů?

8zlato·7stříbro·6bronz=336možností

Zlato může dostat kdokoli z 8, stříbro už jen jeden ze zbylých 7, bronz jeden ze 6.

Obecně k políček, v prvním je n, v každém dalším o jedno méně:

V(k, n) =n · (n − 1) · (n − 2)· … · (n − (k − 1))= n(n − 1) … (n − k + 1)= n!(n − k)!

Zápis V(k, n): první číslo je kolik vybírám, druhé z kolika. V(3, 8) = 8 · 7 · 6, tedy 3 políčka.

Laboratoř: vypiš si to

Vyber, z kolika písmen vybíráš (n) a kolik jich řadíš (k). Uvidíš všechny variace a proč jich je tolik. Když k = n, jsou to permutace.

n
k

Spočítej sám

Příklady z hodin. Nakresli políčka, pak rozklikni a ohodnoť se.

Př. 9 Vlajka ze tří různobarevných vodorovných pruhů, barvy bílá, červená, modrá, zelená, žlutá. a) Kolik je vlajek? b) Kolik má modrý pruh? c) Kolik má modrý uprostřed? d) Kolik nemá uprostřed červený?

a) V(3, 5) = 5 · 4 · 3 = 60

b) všechny − bez modré: 60 − V(3, 4) = 60 − 24 = 36 (nebo modrá na 3 místa · 4 · 3)

c) střed je daný, zbylé dva pruhy ze 4 barev: 4 · 3 = 12

d) všechny − červený uprostřed: 60 − 12 = 48, nebo rovnou políčky jako v sešitu: uprostřed 4 barvy (ne červená), nahoře 4, dole 3: 4 · 4 · 3 = 48

Př. 10 Kolik je nejvýše pěticiferných přirozených čísel, ve kterých se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou? Kolik z nich je menších než 50 000?

Sečtu čísla podle počtu cifer (první cifra nesmí být 0):

  • 1 cifra: 9 · 2 cifry: 9 · 9 = 81 · 3 cifry: 9 · 9 · 8 = 648
  • 4 cifry: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536 · 5 cifer: 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27 216

9 + 81 + 648 + 4536 + 27 216 = 32 490

Menší než 50 000: všechna nejvýše čtyřciferná (5274) a pěticiferná začínající 1–4: 4 · 9 · 8 · 7 · 6 = 12 096. Celkem 17 370.

Př. 11 Výbor má 6 mužů a 4 ženy. a) Kolika způsoby lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? b) Tak, aby předseda byl muž a místopředseda žena, nebo obráceně? c) Tak, aby ve funkcích byla právě jedna žena?

a) V(4, 10) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040

b) předseda a místopředseda: 6 · 4 + 4 · 6 = 48, zbylé dvě funkce ze zbylých 8 lidí: V(2, 8) = 56. Celkem 48 · 56 = 2688.

c) která funkce bude ženská: 4, která žena: 4, zbylé tři funkce muži: V(3, 6) = 120. Celkem 4 · 4 · 120 = 1920.

Př. 12 Rozvrh na den: 12 předmětů, každý nejvýše jednou, 6 hodin. Kolik je rozvrhů? V kolika z nich je daný předmět? V kolika je na 1. hodině?

Všechny: V(6, 12) = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 = 665 280

S daným předmětem: všechny − bez něj: 665 280 − V(6, 11) = 665 280 − 332 640 = 332 640

V sešitu jinak: předmět dám na jednu ze 6 hodin a zbylých 5 hodin obsadím z 11 předmětů: 6 · V(5, 11) = 6 · 55 440 = 332 640. Vyjde to stejně.

Na 1. hodině: první políčko je dané, zbylých 5 hodin z 11 předmětů: V(5, 11) = 55 440

Př. 14 Telefonní číslo je devítimístné, začíná 23, nemá dvě stejné číslice a je dělitelné 25. Kolik takových čísel je?

Dělitelné 25 = končí 00, 25, 50 nebo 75. 00 má dvě stejné, 25 by znovu použilo dvojku. Zbývají 50 a 75.

236543250

Prostředních 5 míst z 6 nepoužitých číslic: V(5, 6) = 720, a to pro oba konce: 2 · 720 = 1440.

4Permutace

Permutace = seřazení všech n prvků. Je to variace, kde k = n, takže políček je tolik, kolik je prvků:

P(n) = V(n, n) = n!

Př. 17: V parlamentu chce vystoupit 6 poslanců A–F. Všech pořadí je 6! = 720.

Šest triků, které se v příkladech opakují

Blok: „ihned po sobě“

Slep je do jednoho prvku a pak řaď. A ihned po E:

E ABCDF

5 prvků: 5! = 120. Když v bloku může být libovolné pořadí, ještě krát 2!.

„Někdy po“ = polovina

A vystupuje (kdykoli) po E. Ke každému pořadí, kde je A po E, existuje zrcadlové, kde je před. Proto přesně polovina:

6!2 = 360

Na kraji

Táborník A stojí na kraji: vyber kraj (2), ostatní seřaď ((n − 1)!):

2 · (n − 1)!

Nestojí vedle sebe

Doplněk: všechna pořadí − ta, kde stojí vedle sebe (blok AB nebo BA):

n! − 2 · (n − 1)!= (n − 2) · (n − 1)!

Do kruhu

ABCD

Záleží jen na tom, kdo je vedle koho. Otočení kruhu dá stejné rozmístění, každé je tedy započítané n-krát:

n!n = (n − 1)!

Nula na začátku

Pěticiferná čísla z cifer 0, 1, 3, 4, 7: všechna pořadí − ta, která začínají nulou:

5! − 4! = 120 − 24 = 96

Spočítej sám

Příklady z hodin. Pak rozklikni a ohodnoť se.

Př. 17 Šest poslanců A–F. Kolik je pořadí, v nichž a) vystupuje A po E, b) vystupuje A ihned po E?

a) polovina ze všech: 720 : 2 = 360

b) blok EA + 4 další = 5 prvků: 5! = 120

Př. 18 Kolika způsoby může n táborníků nastoupit a) do řady, b) do řady s A na kraji, c) do řady, kde A a B nestojí vedle sebe, d) do kruhu?

a) n! · b) 2 · (n − 1)!

c) n! − 2 · (n − 1)! = (n − 2) · (n − 1)! · d) (n − 1)!

Př. 19 Pěticiferná čísla, ve kterých je každá z cifer 0, 1, 3, 4, 7. Kolik jich je? Kolik je dělitelných šesti? Kolik je větších než 70 134?

Všech: 5! − 4! = 96.

Šesti: ciferný součet 0 + 1 + 3 + 4 + 7 = 15 je vždy dělitelný 3, stačí sudé. Na konci 0: 4! = 24. Na konci 4: zbylé 0, 1, 3, 7 bez nuly na začátku: 4! − 3! = 18. Celkem 42.

Větší než 70 134: musí začínat 7. Čísel začínajících 7 je 4! = 24 a 70 134 je z nich nejmenší, takže větších je 23.

DÚ Šest hochů v šestimístné lavici. Kolika způsoby se posadí, když a) dva chtějí sedět vedle sebe, b) navíc třetí chce sedět na kraji?

a) blok (2 pořadí uvnitř) + 4 hoši = 5 prvků: 2 · 5! = 240

b) třetí na kraj: 2 možnosti. Zbylých 5 míst vedle sebe: blok má 4 polohy · 2 pořadí · ostatní tři 3!. Celkem 2 · 4 · 2 · 6 = 96.

5Výrazy, rovnice a nerovnice

Postup, který funguje vždy

  1. 1Podmínky: všechno pod vykřičníkem musí být ≥ 0, u V(k, n) navíc n ≥ k.
  2. 2Rozepiš větší faktoriál na menší a zkrať (variace rovnou jako součin políček).
  3. 3Vyřeš kvadratickou rovnici nebo nerovnici.
  4. 4Porovnej s podmínkami a množinou (ℕ, ℤ). Záporné a necelé kořeny vyhoď.

Vzor: př. 21

V ℕ řeš (x + 1)! = 110 · (x − 1)!

Spočítej sám

Příklady z hodin. Nezapomeň na podmínky.

Př. 20a Zjednoduš (n + 1)!n! − (2n)!(2n + 1)! + (3n − 1)!(3n − 2)!

Podmínka 3n − 2 ≥ 0, tedy n ≥ 1.

(n + 1) − 12n + 1 + (3n − 1) = 4n − 12n + 1 = 8n2 + 4n − 12n + 1

Př. 20b Zjednoduš (n + 1)!(n!)2 + n!((n − 1)!)2

Podmínka n ≥ 1. Jeden faktoriál se vždy zkrátí:

n + 1n! + n(n − 1)! = n + 1n! + n · nn! = n2 + n + 1n!

Druhý zlomek jsem rozšířil n, protože n · (n − 1)! = n!.

Př. 22 V ℤ řeš n!(n − 2)! − 3n ≤ (n + 4)!(n + 3)! + 2

Podmínky: n ≥ 2 (a n ≥ −3, to už platí).

n(n − 1) − 3n ≤ n + 4 + 2, tedy n2 − 5n − 6 ≤ 0, tedy (n − 6)(n + 1) ≤ 0.

Řešení nerovnice −1 ≤ n ≤ 6, s podmínkou: K = {2, 3, 4, 5, 6}.

Př. 13 Kolik je prvků, když z nich lze vytvořit a) 240 dvoučlenných variací, b) dvakrát víc čtyřčlenných variací než tříčlenných?

a) n(n − 1) = 240, n2 − n − 240 = 0, (n − 16)(n + 15) = 0: n = 16

b) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 2 · n(n − 1)(n − 2). Vydělím společnou částí (podmínky n ≠ 0, 1, 2, takže smím dělit): n − 3 = 2, n = 5

Př. 15 Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací desetkrát. Kolik bylo prvků?

(n + 2)(n + 1)n = 10 · n(n − 1)(n − 2), podmínka n ≥ 3.

Vydělím n: n2 + 3n + 2 = 10n2 − 30n + 20, tedy 3n2 − 11n + 6 = 0.

D = 121 − 72 = 49, n1,2 = 11 ± 76. Kořeny 3 a 23, platí jen n = 3. Zkouška: V(3, 5) = 60 = 10 · V(3, 3).

DÚ Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet tříčlenných variací o 150. Kolik bylo prvků?

(n + 2)(n + 1)n − n(n − 1)(n − 2) = 150

Vytknu n: n · [(n2 + 3n + 2) − (n2 − 3n + 2)] = 6n2 = 150, n = 5.

6Jaký je to typ?

Před každým příkladem si polož dvě otázky:

Záleží na pořadí?Prohodím dva vybrané. Je to jiná možnost? (funkce, místa, cifry, pořadí → ano)
ano
Používám všechny prvky?
ano
Permutacen!
ne, jen k
VariaceV(k, n)
ne
Kombinaceaž po písemce

Když se úloha skládá z kroků různého druhu (nejdřív cesta, pak jídlo…), nebo má podmínku na jedno místo, použij políčka a pravidlo součinu. Variace i permutace jsou jen jeho zkratka.

Poznej typ

Nepočítej, jen urči, co použiješ.

  1. Kolika způsoby lze seřadit 7 různých knih na polici?
  2. Kolika způsoby lze rozdat zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili mezi 12 závodníků?
  3. V jídelně jsou 3 polévky a 4 hlavní jídla. Kolik je různých obědů?
  4. Kolik trojciferných čísel lze sestavit z cifer 1–9, když se nesmí opakovat?
  5. Kolik přesmyček má slovo KRUH (i nesmyslných)?
  6. Ze 20 členů klubu se volí předseda, místopředseda, pokladník a zapisovatel.
  7. Kolik je čtyřciferných čísel z cifer 1, 2, 3, 4, 5, když se cifry mohou opakovat?
  8. Kolika způsoby se 8 lidí posadí kolem kulatého stolu?

7Kde se chybuje

Nahoře chyba, pod ní správně.

Trojciferných čísel s různými ciframi je 10 · 9 · 8.
Na začátku nesmí být 0: 9 · 9 · 8 = 648.
(2n)!(2n + 1)! = 2n + 1
Větší faktoriál je dole: 12n + 1.
A „po“ E i „ihned po“ E je totéž.
„Po“ = polovina (360), „ihned po“ = blok (120).
Do kruhu se n lidí posadí n! způsoby.
Otočení je totéž: (n − 1)!.
x = −11 je taky řešení rovnice s faktoriálem.
Vždy podmínky: pod faktoriálem nic záporného, často n ∈ ℕ.
V(3, 8) = 3 · 2 · 1
3 políčka, začínám od 8: 8 · 7 · 6 = 336.
„Aspoň jednou lanovkou“: 1 · 5 + 5 · 1 = 10.
Lanovka tam i zpět je započtená dvakrát. Doplněk: 25 − 16 = 9.
Dělitelnost 4 poznám podle poslední cifry.
Podle posledního dvojčíslí. Podle poslední cifry jen 2, 5 a 10.

8Písemka nanečisto

Nové příklady ve stylu hodin. Počítej na papír s postupem, pak rozklikni a porovnej. Asi 40 minut.

11 příkladů

Co nevyjde, označ Zopakovat. Ráno zapni Jen k zopakování.

Vyslov pravidlo součinu a definuj k-člennou variaci z n prvků.

Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n1 způsoby, 2. člen po výběru 1. členu n2 způsoby, … a poslední po výběru všech předchozích nk způsoby, je n1 · n2 · … · nk.

k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice, ve které se každý z n prvků vyskytuje nejvýše jednou.

Z A do B vedou 3 cesty, z B do C 5 cest a z A do C přímo 2 cesty. Kolika způsoby se dostanu z A do C?

Buď přes B, anebo přímo: 3 · 5 + 2 = 17

Kolik je sudých čtyřciferných čísel s navzájem různými ciframi?

Rozdělím podle poslední cifry, protože 0 mění počty na začátku:

na konci 0: 9 · 8 · 7 · 1 = 504

na konci 2, 4, 6, 8: 8 · 8 · 7 · 4 = 1792 (první cifra ani 0, ani ta poslední)

504 + 1792 = 2296

Ve třídě je 25 žáků. Kolika způsoby lze zvolit předsedu, místopředsedu a pokladníka?

V(3, 25) = 25 · 24 · 23 = 13 800

Kolika způsoby lze seřadit 7 knih na polici, když tři díly trilogie mají stát vedle sebe (v libovolném pořadí)?

Trilogie je blok: 5 prvků 5!, uvnitř bloku 3!: 120 · 6 = 720

Šest dětí stojí v řadě. Kolika způsoby, když Anna a Bára nesmí stát vedle sebe?

6! − 2 · 5! = 720 − 240 = 480

Kolik pěticiferných čísel lze sestavit z cifer 0, 2, 5, 6, 8 (každá právě jednou)? Kolik z nich je dělitelných pěti?

Všech: 5! − 4! = 96.

Pěti: na konci 0: 4! = 24, na konci 5: 4! − 3! = 18. Celkem 42.

Kolika způsoby se 5 lidí posadí kolem kulatého stolu?

(5 − 1)! = 24

Zjednoduš (n + 2)!n! − (n + 1)!(n − 1)!

Podmínka n ≥ 1.

(n + 2)(n + 1) − (n + 1)n = (n + 1)(n + 2 − n) = 2(n + 1)

V ℕ řeš (n + 1)!(n − 1)! ≤ 30

Podmínka n ≥ 1. (n + 1)n ≤ 30, n2 + n − 30 ≤ 0, (n + 6)(n − 5) ≤ 0, tedy −6 ≤ n ≤ 5.

K = {1, 2, 3, 4, 5}

Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet dvoučlenných variací o 16. Kolik je prvků?

(n + 1)n − n(n − 1) = 16, 2n = 16, n = 8. Zkouška: V(2, 9) − V(2, 8) = 72 − 56 = 16.

Co nevyšlo, najdeš v příslušné části nahoře. Ráno před písemkou zapni u příkladů Jen k zopakování a projdi si schéma typů a chyby.